lim 1

Ответ от Hippie[гуру]
1. Предел существует только при х -> минус бесконечность.
lim (3-x) [ ln (1-x) - ln (2-x)] ( при x-> минус бесконечность) =1.
При х -> бесконечность:
ln(1-x)-ln(2-x) определено только при х -> минус бесконечность и
ln(1-x)-ln(2-x)= ln((1-x)/(2-x))=ln(1-1/(2-x)) эквивалентно 1/(2-x) (по следствию из второго зам. пред. -а) .
Поэтому первый предел равен пределу (3-х) /(2-х) при х -> минус бесконечность, т. е. равен 1.
2.
lim (3x^2+6x-1) / ((x+2)(2x-4)) (при x-> бесконечность) =3/2.
Разделив числитель и знаменатель на x^2, получим:
(3+6/x-1/x^2)/(2-8/x^2).
При x-> бесконечность 1/x и 1/x^2 бесконечно малые, поэтому данный предел равен 3/2.
3.
lim x(ln 4x - ln(4x+3)) (при x-> + бесконечность)
При х -> +бесконечность:
ln(4x)-ln(4x+3)= ln(1-3/(4х+3)) эквивалентно -3/(4х+3) (по следствию из второго зам. пред. -а) .
Поэтому первый предел равен пределу -3х/(4х+3) при х -> +бесконечность, т. е. равен-3/4.
4.
lim (3-x)/(2x+1) - (3x^2+2)/(4x^2-1)) (при x->бесконечность) =-5/4.
Аналогично примеру 2: (3-x)/(2x+1) -> -1/2; (3x^2+2)/(4x^2-1) -> 3/4.
Поэтому lim ((3-x)/(2x+1)-(3x^2+2)/(4x^2-1))=-1/2-3/4=-5/4.
5.
lim (x^3 e^(-x/2)) (при x-> + бесконечность) =0.
x^3 e^(-x/2)= x^3 /e^(x/2).
При x-> + бесконечность получается неопределённость вида бесконечность/бесконечность, которая может быть вычислена трёхкратным применением правила Лопиталя:
lim (x^3/e^(x/2))=lim (3x^2/(e^(x/2)/2))=lim (6x/(e^(x/2)/4))=lim (6/(e^(x/2)/8))=0.
6.
lim (1/x^1/2) (tg (x/3)) (при x->0)=0.
По следствию из первого зам. пред. -а: при x->0 tg (x/3) эквивалентно х/3.
Поэтому:
lim (1/x^(1/2))(tg(x/3))=lim (1/x^(1/2))*x/3)=lim x^(1/2)/3=0.
--------------------------------------------------------------------------------------
График функции sin(x)/x.
(Первый ---вид «в целом» , по осям X и Y различный масштаб;
второй ---вид вблизи нуля, масштаб по осям X и Y ---одинаковый. )