ln y

Ответ от Ѓдачник[гуру]
Уравнение с разделяемыми переменными y \' * sin x = y * ln y dy/dx * sin x = y * ln y dy / (y * ln y) = dx / sin x Берем интегралы от левой и правой частей. Int (dy / (y * ln y)) = Int (dx / sin x) Левый интеграл берется заменой ln y = t, dt = dy / y Int (dy / (y * ln y)) = Int (dt / t) = ln |t| = ln |ln |y|| Правый интеграл можно взять универсальной тригонометрической подстановкой. tg (x/2) = t, sin x = 2t / (1+t^2), dx = 2dt / (1+t^2) Int (dx / sin x) = Int (2dt/(1+t^2) : 2t/(1+t^2)) = Int (2dt/(1+t^2) * (1+t^2)/(2t)) = Int (dt / t) = ln |t| = ln |tg (x/2)| Получаем: Int (dy / (y * ln y)) = Int (dx / sin x) ln |ln |y|| = ln |tg (x/2)| + ln C = ln |C * tg (x/2)| Избавляемся от логарифма ln |y| = C*tg (x/2) y = e ^ (C*tg (x/2)) Проверим y \' = e ^ (C*tg (x/2)) * C/(cos (x/2))^2 * 1/2 = C * e ^ (C * tg (x/2)) / 2(cos (x/2))^2 y \' * sin x = C * e ^ (C*tg (x/2)) / 2(cos (x/2))^2 * 2sin (x/2)*cos (x/2) = C * e ^ (C*tg (x/2)) * sin (x/2) / cos (x/2) = e ^ (C*tg (x/2)) * C*tg (x/2) y * ln y = e ^ (C*tg (x/2)) * C*tg (x/2) Правая и левая части совпадают, общее уравнение решено верно. Подставляем начальное условие y (Pi/2) = e ^ (C * tg (Pi/4)) = e ^ C = 1 C = 0 y = e ^ 0 = 1 ???Не понимаю, как это происходит, но общее уравнение y = e ^ (C*tg (x/2)) при y (Pi/2) = 1 вырождается в прямую y = 1