уравнение с модулем

Ответ от Ђатьяна[гуру]
Уравнения и неравенства с модулем
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: 6, х, а и т. д.
(Подробнее – в разделе «Модуль числа») .
Уравнения с модулем.
Пример 1. Решить уравнение
10х – 5 = 15.
Решение.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15
│10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20
│10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10
│х = –10 : 10
↕
│х = 2
│х = –1
Ответ: х1 = 2, х2 = –1.
Пример 2. Решить уравнение
2х + 1 = х + 2.
Решение.
Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ –2.
Составляем два уравнения:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –(х + 2)
Решаем:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –х – 2
↕
│2х – х = 2 – 1
│2х + х = –2 – 1
↕
│х = 1
│х = –1
Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1.
Пример 3. Решить уравнение
х + 3 – 1
————— = 4
х – 1
Решение.
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде:
х + 3 – 1 = 4 · (х – 1),
х + 3 – 1 = 4х – 4,
х + 3 = 4х – 4 + 1,
х + 3 = 4х – 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х – 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
│х + 3 = 4х – 3
│х + 3 = –(4х – 3)
↕
│ х + 3 = 4х – 3
│ х + 3 = –4х + 3
↕
│х – 4х = –3 – 3
│х + 4х = 3 – 3
↕
│х = 2
│х = 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Источник: